Egftnjytyk

Zbiory oraz relacje pomiędzy nimi są przykładem pojęć pierwotnych.

Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Terminem pojęcia pierwotnego określa się pojęcia, które uznawane są za fundamentalne, a zarazem trudne do opisania językiem teorii^[1]. Pojęć tych nie definiuje się lub definiuje co najwyżej podając definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.

W oparciu o pojęcia pierwotne oraz pojęcia określone wcześniej, definiuje się inne pojęcia matematyczne. Każde pojęcie nie będące pojęciem pierwotnym wymaga podania odrębnej definicji^[1].

Przykłady |

• W podanej przez Euklidesa teorii geometrii euklidesowej pojęciami pierwotnymi są punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń oraz relacja punkt p{displaystyle p} leży na prostej ℓ{displaystyle ell }^[2].


• W naiwnej teorii mnogości pojęciami pierwotnymi są zbiory i relacja należenia^[2].

Punkt widzenia współczesnej logiki matematycznej |

Termin „pojęcie pierwotne” był w powszechnym użyciu w okresie poprzedzającym formalizację logiki matematycznej, jednak we współczesnych badaniach naukowych używa się go bardzo rzadko (jeśli w ogóle). Spowodowane to jest faktem, że w ujęciu formalnym każdemu z potencjalnych pojęć pierwotnych odpowiada element pewnego alfabetu τ{displaystyle tau } (tzn. zbioru symboli relacyjnych, symboli funkcyjnych, symboli dla stałych itp). Zamiast mówić, że pojęciami pierwotnymi naszej teorii T{displaystyle T} są..., stwierdzamy, iż T{displaystyle T} jest teorią w języku L(τ){displaystyle {mathcal {L}}(tau )}. Na przykład o teorii mnogości ZFC mówimy, że jest to teoria w języku pierwszego rzędu L(∈){displaystyle {mathcal {L}}(in )}. W starym podejściu powiedzielibyśmy że ∈{displaystyle ,in ,} jest pojęciem pierwotnym. (Zwróćmy uwagę, że w ZFC każdy obiekt jest zbiorem, więc w alfabecie tej teorii nie ma specjalnego predykatu na x{displaystyle x} jest zbiorem.)

Warto zauważyć, że czasami jest wygodnie użyć terminu pojęcie pierwotne, szczególnie gdy używamy logik wielosortowych albo gdy rozważana teoria jest związana w pewnym sensie z inną powszechnie znaną. I tak:

• Możemy formalizować geometrię euklidesową na gruncie logiki dwusortowej i zamiast mówić, iż mamy dwa rodzaje obiektów, możemy stwierdzić, że mamy dwa pojęcia pierwotne (punkty i proste).


• Wprowadzając teorię mnogości Morse’a-Kelleya, możemy stwierdzić, że pojęcia pierwotne tej teorii to relacja należenia i klasa, podkreślając tym samym, że zbiory są tutaj obiektami wtórnymi (tzn. zdefiniowanymi). Ale, podobnie jak ZFC, jest to teoria w języku L(∈){displaystyle {mathcal {L}}(in )}.

W kontekście logiki matematycznej należy zwrócić uwagę, że gdy podajemy modele danej teorii, to interpretujemy wszystkie symbole z alfabetu danej teorii, czyli w pewnym sensie określamy je. Absolutnie nie powinno to być rozumiane jako definiowanie pojęć pierwotnych, jest to całkowicie inna procedura. Ma ona zwykle na celu albo praktyczne wyjaśnienie pojęć (jak np. w geometrii) albo dowód niesprzeczności teorii.

Warto też zauważyć, że pojęcia pierwotne w ramach jednej teorii mogą być pojęciami definiowalnymi w innej (na innym poziomie logicznym). Na przykład prosta jest pojęciem pierwotnym w geometrii euklidesowej, ale w geometrii analitycznej jest ona definiowana jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Podobnie w teorii liczb uważamy liczby za pojęcia pierwotne, ale w teorii mnogości liczby definiuje się za pomocą zbiorów (ogólnie taka jest też „ostateczna” definicja liczby).

Przypisy |

Zobacz też |

Zobacz hasło pojęcie pierwotne w Wikisłowniku

• geometria euklidesowa


• teoria mnogości