Egftnjytyk

Ten artykuł dotyczy struktury algebraicznej. Zobacz też: przestrzeń euklidesowa w ujęciu geometrii syntetycznej.

Przestrzeń euklidesowa – przestrzeń opisywana przez geometrię euklidesową. Model ten stanowi dobre przybliżenie przestrzeni fizycznej, jeśli za jej pomocą opisuje się odległości makroskopowe.

Nie nadaje się do opisu przestrzeni fizycznej w odległościach bardzo małych, atomowych, gdy rolę zaczynają odgrywać efekty kwantowe lub w pobliżu masywnych obiektów astronomicznych, jak Słońce, czarne dziury – gdy rolę zaczynają grać efekty zakrzywienia przestrzeni i geometria staje się nieeuklidesowa.

Jednowymiarową przestrzeń euklidesową nazywa się prostą euklidesową, a dwuwymiarową – płaszczyzną euklidesową.

Przestrzenie euklidesowe nazywa się również afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi, w odróżnieniu od liniowych przestrzeni euklidesowych, nazywanych też przestrzeniami unitarnymi.

Kluczową własnością przestrzeni euklidesowych jest ich „płaskość”. W geometrii wyróżnia się inne przestrzenie, które nie są euklidesowe. Np. sfera jest przestrzenią nieeuklidesową, gdyż kąty trójkąta na sferze sumują się do wartości większej niż 180 stopni, inaczej niż na płaszczyźnie euklidesowej.

Geometria rozważa przestrzenie wielowymiarowe. Dla danej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa o wymiarze n, zaś przestrzeni nieeuklidesowych wymiaru n jest nieskończenie wiele. Te ostatnie można konstruować np. poprzez deformację przestrzeni euklidesowej.

Podejście klasyczne do geometrii |

 Osobny artykuł: geometria euklidesowa.

Około 300 p.n.e. grecki matematyk Euklides badał własności geometryczne na płaszczyźnie (wyidealizowanej powierzchni) i w przestrzeni i stworzył podwaliny pod geometrię dwu- i trójwymiarową. Geometrie te nazwano z czasem geometriami euklidesowymi.

Euklides sformułował geometrię następującoː

(1) Niektóre pojęcia przyjął bez definicji, odwołując się do intuicji (są to tzw. pojęcia pierwotne geometrii)ː

• 
  punktu, prostej, płaszczyzny,
  


• 
  należenia punktu do prostej (zob. incydencja), należenia prostej do płaszczyzny itd.

(2) Wszystkie inne pojęcia, takie jak kąt, odcinek, półprosta, okrąg itp., zdefiniował odwołując się do pojęć pierwotnych i aksjomatów.

Euklides przyjął, że punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń mają wymiar równy kolejno: zero, jeden, dwa, trzy. Geometrię można rozszerzać wprowadzając nowe pojęcia pierwotne (obok pojęć punktu, prostej i płaszczyzny) oraz wprowadzając relacje należenia obiektów „mniejszych” w „większych”, przy czym miarą jest tu wymiar obiektu.

Rozwijanie geometrii w powyżej omówiony sposób czasem okazuje się problematyczne – gdyż niekiedy trudno jest spójnie definiować kolejne pojęcia pierwotne i zależności między nimi. Z tego powodu dziś zamiast odwoływać się do niezupełnego systemu Euklidesa korzysta się z algebry i analizy (zobacz geometria syntetyczna, geometria analityczna).

Grupa przekształceń obiektów geometrycznych |

W geometrii Euklidesa istnieją trzy zasadnicze przekształcenia płaszczyzny:

• 
  przesunięcie (translacja), polegające na przemieszczeniu wszystkich punktów płaszczyzny o tę samą odległość w ustalonym kierunku,


• 
  obrót wokół ustalonego punktu wszystkich punktów płaszczyzny,


• odbicie wokół osi.

Dwie figury (tzn. podzbiory płaszczyzny) definiuje się jako równoważne (przystające), jeżeli jedna z nich może być przekształcona w drugą za pomocą przesunięć, obrotów i odbić.

Obroty, przesunięcia i translacje tworzą grupę przekształceń.

Aby uzyskać precyzyjny opis geometryczny powyżej omówionych przekształceń trzeba zdefiniować takie pojęcia jak: długość, odległość, równoległość (przesunięcie równoległe), prostopadłość, kąt, obrót, odbicie.

Współczesna definicja płaszczyzny euklidesowej |

Współcześnie płaszczyznę euklidesową definiuje się jako dwuwymiarową rzeczywistą przestrzeń afiniczną uzupełnioną o iloczyn skalarny. W takim ujęciu płaszczyzna euklidesowa jest traktowana jako zbiór punktów, których wzajemnie zależności da się wyrazić jedynie za pomocą pojęć odległości i kąta. Przy tymː

• 
  punkty przestrzeni afinicznej odpowiadają punktom płaszczyzny euklidesowej,


• 
  wektory stowarzyszonej z przestrzenią afiniczną przestrzeni liniowej odpowiadają przesunięciom,


• iloczyn skalarny wprowadza pojęcia kąta i odległości, które umożliwiają zdefiniowanie obrotu.

Opisanie płaszczyzny euklidesowej w ten sposób sprawia, że rozszerzenie geometrii na dowolne wymiary jest proste: definicje pojęć, wzory i obliczenia nie stają się wówczas znacząco trudniejsze (jedyną trudnością mogą być obroty w wyższych wymiarach oraz wizualizacja takich przestrzeni – trudna nawet dla doświadczonych matematyków).

Dzisiejsza matematyka umożliwia łatwe uogólnienie pojęć odległości i kąta na cztero-, pięcio-, a nawet więcej wymiarowe przestrzenie (nazywane hiperprzestrzeniami).

Często w rozważaniach geometrycznych pomija się mówienie o przestrzeni afinicznej, koncentrując opis na przestrzeni liniowej, która ma ustalony punkt początkowy. Np. przedstawiony dalej model przestrzeni współrzędnych, prowadzący do modelu przestrzeni kartezjańskiej, ma naturalny wybór początku. Jednak przestrzeń afiniczną można zawsze wprowadzić w danej przestrzeni liniowej poprzez pominięcie wskazania jej punktu początkowego.

Dalsza część artykułu poświęcona jest współczesnemu ujęciu geometrii, niezbędnemu przy uogólnianiu geometrii Euklidesa na wyższe wymiary.

Definicja przestrzeni euklidesowej wymiaru n |

Niech dana będzie przestrzeń liniowa V{displaystyle V} wymiaru n{displaystyle n} nad ciałem liczb rzeczywistych R{displaystyle mathbb {R} }, w której określony jest standardowy iloczyn skalarny (nazwany euklidesowym). Przestrzeń afiniczną (E,V){displaystyle (E,V)} nazywa się wówczas przestrzenią euklidesową wymiaru n.{displaystyle n.}

Definicja metryki euklidesowej |

Skalarami nazywa się elementy ciała R{displaystyle mathbb {R} }; skalary będą oznaczane literami pochylonymi, np. a,b.{displaystyle a,b.}

Punktami nazywa się elementy przestrzeni E{displaystyle E}; punkty będą oznaczane literami prostymi, np. p,q.{displaystyle mathrm {p} ,mathrm {q} .}

Wektorami nazywa się elementy przestrzeni wektorowej V{displaystyle V}; wektory będą oznaczane literami półtłustymi, np. v,x{displaystyle mathbf {v} ,mathbf {x} } lub literami prostymi połączonymi znakiem odejmowania; np. q−p{displaystyle mathrm {q} -mathrm {p} } oznacza wektor o początku w punkcie p{displaystyle mathrm {p} }, a końcu w punkcie q{displaystyle mathrm {q} }.

Znak ⋅{displaystyle cdot } oznacza iloczyn skalarny wektorów.

Normą euklidesową wektora v{displaystyle mathbf {v} } nazywa się pierwiastek z iloczynu skalarnego tego wektora, tj.

‖v‖=v⋅v{displaystyle |mathbf {v} |={sqrt {mathbf {v} cdot mathbf {v} }}}

Metryką (odległością) euklidesową punktów p,q{displaystyle mathrm {p} ,mathrm {q} } przestrzeni E{displaystyle E} nazywa się normę wektora łączącego te punkty, tj.

de(p,q)=‖q−p‖{displaystyle d_{e}(mathrm {p} ,mathrm {q} )=left|mathrm {q} -mathrm {p} right|}

Metryką między podprzestrzeniami P,Q⊆E{displaystyle P,Qsubseteq E} nazywamy najmniejszą odległość między wszystkimi parami punktów wziętych z tych podprzestrzeni, tj.

d(P,Q)=infp∈P,q∈Q d(p,q){displaystyle d(P,Q)=inf _{begin{smallmatrix}mathrm {p} in P,\mathrm {q} in Qend{smallmatrix}}~d(mathrm {p} ,mathrm {q} )}

Konstrukcja przestrzeni współrzędnych |

Każdy punkt trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest wyznaczony przez trzy współrzędne.

 Zobacz też: przestrzeń współrzędnych i współrzędne.

Niech R{displaystyle mathbb {R} } oznacza ciało liczb rzeczywistych. Dla dowolnej liczby naturalnej n{displaystyle n} przestrzeń wszystkich n{displaystyle n}-elementowych ciągów liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad R{displaystyle mathbb {R} } oznaczaną Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} i nazywaną przestrzenią współrzędnych rzeczywistych. Co więcej, Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą, dlatego wektory przestrzeni liniowej i punkty przestrzeni afinicznej utożsamia się zwykle w naturalny sposób. Jeżeli tak nie jest, punkty i wektory z Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} należy odróżniać; wówczas punkty zapisuje się zwykle w nawiasach okrągłych,

p=(p1,p2,…,pn){displaystyle mathrm {p} =(p_{1},p_{2},dots ,p_{n})}^[1],

a wektory w kwadratowych,

x=[x1,x2,…,xn]{displaystyle mathbf {x} =[x_{1},x_{2},dots ,x_{n}]}^[1],

gdzie wszystkie współrzędne pi{displaystyle p_{i}} oraz xi{displaystyle x_{i}} są rzeczywiste.

Dodawanie wektorów, mnożenie przez skalar |

Dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} zdefiniowane jest wzorem

x+y=[x1+y1,x2+y2,…,xn+yn],{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} =[x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},dots ,x_{n}+y_{n}],}

a mnożenie wektora przez skalar wzorem

ax=[ax1,ax2,…,axn],{displaystyle amathbf {x} =[ax_{1},ax_{2},dots ,ax_{n}],}

Dodawanie wektora do punktu |

Dodawanie wektora do punktu jest działaniem określonym w przestrzeni afinicznej Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}. W wyniku tego działania otrzymuje się inny punkt. Działanie to definiuje się je następującoː

p+x=(p1+x1,p2+x2,…,pn+xn).{displaystyle mathrm {p} +mathbf {x} =(p_{1}+x_{1},p_{2}+x_{2},dots ,p_{n}+x_{n}).}

Baza przestrzeni liniowej Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} |

Przestrzeń liniowa Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} ma naturalną bazę nazywaną standardową (lub kanoniczną):

e1=[1,0,…,0],{displaystyle mathbf {e} _{1}=[1,0,dots ,0],}

e2=[0,1,…,0],{displaystyle mathbf {e} _{2}=[0,1,dots ,0],}

⋮{displaystyle vdots }

en=[0,0,…,1],{displaystyle mathbf {e} _{n}=[0,0,dots ,1],}

w której dowolny wektor Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} może być zapisany jednoznacznie w postaci

x=∑i=1nxiei.{displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{n}x_{i}mathbf {e} _{i}.}

Przestrzeń Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} jest w związku z tym przykładem szerszej klasy przestrzeni z układem współrzędnych kartezjańskich, w których dowolny punkt można jednoznacznie identyfikować z jego współrzędnymi.

Wybór punktu początkowego przestrzeni |

Przestrzeń afiniczną Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} można przekształcić w przestrzeń liniową poprzez wybór punktu początkowego o,{displaystyle mathrm {o} ,} takiego żeː

o=(0,0,…,0).{displaystyle mathrm {o} =(0,0,dots ,0).}

Z tego powodu współrzędne punktu

x=o+∑i=1nxiei{displaystyle mathrm {x} =mathrm {o} +sum _{i=1}^{n}x_{i}mathbf {e} _{i}}

pokrywają się ze współrzędnymi odpowiadającego mu wektora

x=∑i=1nxiei.{displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{n}x_{i}mathbf {e} _{i}.}

Uwaga: Symbolika punktu x{displaystyle mathrm {x} } różni się – nieznacznie – od symboliki wektora x{displaystyle mathbf {x} }. De facto punkt przestrzeni Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, w której wybrano punkt początkowy, można utożsamiać z wektorem, gdyż mają ten sam zbiór współrzędnych.

Przestrzeń Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} z wyżej omówioną strukturą jest prototypem n{displaystyle n}-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej. Istotnie, każda n{displaystyle n}-wymiarowa rzeczywista przestrzeń liniowa jest izomorficzna z Rn.{displaystyle mathbb {R} ^{n}.} Wspomniany izomorfizm nie jest jednak kanoniczny, jego wybór jest równoważny wyborowi bazy w V.{displaystyle V.} Czasami jednak zamiast w Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} wygodniej jest pracować w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych. Umożliwia to pracę w przestrzeni pozbawionej współrzędnych (tzn. bez wyboru bazy).

Konstrukcja przestrzeni euklidesowej Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} |

 Zobacz też: geometria analityczna i współrzędne kartezjańskie.

Przestrzeń euklidesowa jest strukturą bogatszą niż przestrzeń współrzędnych rzeczywistych. Mianowicie, przestrzeń euklidesową jest przestrzenią współrzędnych rzeczywistych wyposażoną dodatkowo w geometrię (geometrię euklidesową) poprzez zdefiniowanie wielkości geometrycznych takich jak: odległości (metryki) między punktami, kąty między prostymi czy wektorami, pola powierzchni, objętości.

Przestrzeń współrzędnych rzeczywistych wraz z wprowadzoną strukturą geometrii euklidesowej nazywana jest przestrzenią kartezjańską lub przestrzenią euklidesową i oznacza się ją symbolami Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} lub En{displaystyle E^{n}} ^[2].

Przestrzeń kartezjańska jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej, gdyż umożliwia zapis twierdzeń geometrycznych poprzez zastąpienie metod geometrycznych działaniami na liczbach rzeczywistych z użyciem metod algebry liniowej czy analizy matematycznej. Taki sposób uprawiania geometrii nazywa się geometrią analityczną.

Definicja iloczynu skalarnego w Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} |

Aby wprowadzić pojęcia długości i kątów najpierw definiuje się standardowy (euklidesowy) iloczyn skalarny w Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} za pomocą wzoruː

x⋅y=∑i=1nxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn.{displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} =sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+dots +x_{n}y_{n}.}

Definicja długości wektora w Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} |

Iloczyn skalarny jest liczbą rzeczywistą. Co więcej, iloczyn skalarny wektora x{displaystyle mathbf {x} } przez siebie jest zawsze nieujemny, co pozwala na zdefiniowanie długości wektora x{displaystyle mathbf {x} } jako

‖x‖=x⋅x=(∑i=1nxi2)1/2.{displaystyle |mathbf {x} |={sqrt {mathbf {x} cdot mathbf {x} }}=left(sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}right)^{1/2}.}

Długość wektora spełnia własności normy i jest nazywana normą euklidesową wektora na Rn.{displaystyle mathbb {R} ^{n}.}

Definicja metryki w Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} |

Wreszcie można za pomocą normy zdefiniować na Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} metrykę (funkcję odległości):

de(x,y)=‖x−y‖=(∑i=1n(xi−yi)2)1/2{displaystyle d_{e}(mathrm {x} ,mathrm {y} )=|mathrm {x} -mathrm {y} |=left(sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}right)^{1/2}}

nazywaną metryką euklidesową. Może być ona postrzegana jako forma twierdzenia Pitagorasa i stanowi ona przypadek szczególny tzw. odległości Mahalanobisa. Metryka euklidesowa jest również przypadkiem szczególnym (z parametrem 2{displaystyle 2}) szerszej klasy metryk wyznaczanych przez tzw. metrykę Minkowskiego.

Definicja kąta w Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} |

Kąt wypukły θ,{displaystyle theta ,} tzn. 0∘⩽θ⩽180∘{displaystyle 0^{circ }leqslant theta leqslant 180^{circ }} między wektorami x{displaystyle mathbf {x} } oraz y{displaystyle mathbf {y} } definiuje się jako

θ=cos−1⁡(x⋅y‖x‖‖y‖),{displaystyle theta =cos ^{-1}left({tfrac {mathbf {x} cdot mathbf {y} }{|mathbf {x} ||mathbf {y} |}}right),}

gdzie cos−1{displaystyle cos ^{-1}} oznacza funkcję arcus cosinus.

Przestrzeń kartezjańska a inne przestrzenie |

Przestrzeń kartezjańska należy do ogólniejszych klas przestrzeni, np. jest

• 
  unormowaną przestrzeń liniową
  


• przestrzenią metryczną


• przestrzenią unitarną


• przestrzenią Hilberta


• rozmaitością riemannowską


• 
  przestrzenią ortogonalną z dodatnio określoną formą dwuliniową
  


• przestrzenią będąca iloczynem kartezjańskim zbiorów (klas)^[3]
  


• przestrzenią topologiczną

Narzędziem pozwalającym stwierdzić, czy daną przestrzeń ortogonalną można wyposażyć w strukturę euklidesową (zatem czy forma dwuliniowa jest iloczynem skalarnym) jest kryterium Sylvestera.

Przykłady przestrzeni euklidesowych |

Przestrzenie kartezjańskie |

• proste euklidesowe,
  

  w których punkty i wektory utożsamia się z liczbami rzeczywistymi, kąt między dowolnymi dwoma wektorami o początku w zerze jest równy 0∘{displaystyle 0^{circ }} (punkty je wyznaczające leżą po jednej stronie zera) lub 180∘{displaystyle 180^{circ }} (punkty te leżą po przeciwnej stronie zera, tzw. liczby przeciwne), a norma wektora to wartość bezwzględna liczby, zaś metryka to bezwzględna różnica dwóch liczb;

  
  


• płaszczyzny euklidesowe
  
  
  
  • dwuwymiarowa przestrzeń afiniczna nad ciałem liczb rzeczywistymi z określoną strukturą euklidesową
  
  
  • 
    płaszczyzna zespolona, gdzie punkty i wektory to liczby zespolone, kąt między nimi dany jest jako różnica ich argumentów, długość (norma) to moduł liczby zespolonej z naturalnie określoną metryką (jako moduł różnicy).
  
  
  
  

Przestrzeń wielomianów |

Przestrzeń wielomianów R2[X]{displaystyle mathbb {R} _{2}[X]} wielomianów stopnia nie większego niż dwa zmiennej rzeczywistej z iloczynem skalarnym

⟨f,g⟩=∫−11f(x)g(x)d⁡x{displaystyle langle f,grangle =int limits _{-1}^{1}f(x)g(x)operatorname {d} x}

Własności topologiczne |

Topologia przestrzeni En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} |

Ponieważ przestrzeń En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} ma strukturę metryczną, to jest ona przestrzenią topologiczną z topologią indukowaną przez metrykę euklidesową. Topologia ta nazywana jest topologią euklidesową. Topologia ta jest równoważna z topologią produktową n{displaystyle n} kopii prostej rzeczywistej R{displaystyle mathbb {R} } ze standardową (a więc euklidesową) topologią.

Definicja zbioru otwartego w En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} |

Zbiór w En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu. Rodzina wszystkich kul otwartych o wymiernych promieniach i środkach w punktach o wymiernych współrzędnych, tworzy bazę tej przestrzeni. Dlatego też En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} jest przestrzenią o bazie przeliczalnej i ma ciężar ℵ0.{displaystyle aleph _{0}.}

En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} jako przestrzeń zupełna i ośrodkowa |

Przestrzeń En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} jest zupełna i ośrodkowa, rolę ośrodka (przeliczalnego podzbioru gęstego) może pełnić np. zbiór punktów o współrzędnych wymiernych. Dodatkowo istnieje prosta charakteryzacja zbiorów zwartych – są to zbiory domknięte i ograniczone w tej przestrzeni. Dowolny otwarty zbiór spójny tej przestrzeni jest łukowo spójny.

Twierdzenie Brouwera |

Ważnym wynikiem dotyczącym topologii En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} jest nietrywialne twierdzenie Brouwera o niezmienniczości obszaru: dowolny podzbiór En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} (z topologią podprzestrzeni), który jest homeomorficzny z innym otwartym podzbiorem En{displaystyle mathbb {E} ^{n}}, jest otwarty. Konsekwencją tego jest, że przestrzeń Em{displaystyle mathbb {E} ^{m}} nie jest homeomorficzna z En{displaystyle mathbb {E} ^{n}} o ile m≠n{displaystyle mneq n} – jest to twierdzenie intuicyjnie „oczywiste”, jednak trudne do dowiedzenia w inny sposób.

Wiele własności przestrzeni euklidesowych zależy od ich wymiaru, np. w przestrzeni nietrójwymiarowej każdy węzeł jest trywialny (tzn. homeomorficzny z okręgiem).

Uogólnienia |

Przestrzenie euklidesowe traktuje się we współczesnej matematyce i fizyce jako prototypy bardziej skomplikowanych obiektów geometrycznych. W szczególności definiuje się rozmaitości, które lokalnie są homeomorficzne z przestrzenią euklidesową lub pseudo-euklidesową dowolnego wymiaru.

Rozmaitość różniczkowa |

Rozmaitość różniczkowa to przestrzeń topologiczna Hausdorffa, która jest lokalnie dyfeomorficzna z przestrzenią euklidesową. Dyfeomorfizmy nie zachowują odległości ani kątów, tak więc w rozmaitościach różniczkowych brak tych kluczowych pojęć geometrii euklidesowej.

Rozmaitość riemannowska |

Jednak jeżeli dodatkowo zdefiniuje się na przestrzeni stycznej rozmaitości iloczyn skalarny, który zmienia się w sposób gładki przy przemieszczaniu się po rozmaitości, to uzyskaną przestrzeń nazywa się rozmaitością riemannowską. Rozmaitość riemannowską można otrzymać przez deformację i sklejanie fragmentów przestrzeni euklidesowej. Są więc tu obecne pojęcia odległości oraz kąta, choć przestrzeń ma w ogólności zakrzywioną, nieeuklidesową naturę. Najprostsza rozmaitość riemannowska jest przestrzenią Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, czyli jest n{displaystyle n}-wymiarową przestrzenią euklidesową.

Przestrzeń pseudoeuklidesowa |

Jeżeli przekształcić iloczyn skalarny przestrzeni euklidesowej tak, by mógł on być ujemny w jednym lub większej liczbie kierunków, to taką przestrzeń nazywa się przestrzenią pseudoeuklidesową.

Przykładowo w teorii względności pusta czasoprzestrzeń, tj. pozbawiona materii lub wypełniona materią o bardzo małej gęstości reprezentowana jest przez 4-wymiarową przestrzeń pseudoeuklidesową, którą nazywa się przestrzenią Minkowskiego.

Rozmaitość pseudoriemannowska |

Rozmaitość różniczkową homeomorficzną lokalnie z przestrzenią pseudoeuklidesową nazywa się rozmaitością pseudoriemannowską.

Np. W ogólnej teorii względności czasoprzestrzeń tworzą rozmaitość 4-wymiarową pseudoriemannowską, mające na skutek obecności materii lokalne zakrzywienia, tym większe, im większa jest lokalnie gęstość materii (por. Przestrzeń euklidesowa a przestrzeń fizyczna poniżej).

Geometria różniczkowa |

Dowolna przestrzeń euklidesowa jest rozmaitością riemannowską ze standardowym iloczynem skalarnym, a więc i jest rozmaitością różniczkową.

Prosta euklidesowa ma w każdym punkcie zerową krzywiznę oraz zerowe skręcenie. Płaszczyzna euklidesowa ma w każdym punkcie zerową krzywiznę Gaussa, co więcej: każdy punkt płaszczyzny euklidesowej jest punktem spłaszczenia. Krzywymi geodezyjnymi na płaszczyźnie euklidesowej są proste (euklidesowe).

Przestrzeń euklidesowa a przestrzeń fizyczna |

Przestrzeń euklidesowa R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} stanowi dobry model do opisu rzeczywistej przestrzeni fizycznej w warunkach makroskopowych, jednak nie nadaje się np. do opisu rzeczywistości w wielkich, astronomicznych odległościach. Fakt ten jest uwzględniany w modelach kosmologicznych, opisujących Wszechświat jako całość. Także przestrzeń fizyczna, opisywana przez ogólną teorię względności, nie jest euklidesowa w pobliżu obiektów astronomicznych o dużych masach jak Słońce czy czarne dziury – w pobliżu takich mas przestrzeń ulega zakrzywieniu, a geodezyjne w tej przestrzeni są wyznaczane przez tory promieni światła. Nieeuklidesowość musi być również uwzględniona w nawigacji satelitarnej czy nawigacji lotniczej.

Zobacz też |

Przestrzenie

• przestrzeń Banacha


• przestrzeń Hilberta


• geometria riemannowska


• rozmaitość topologiczna


• przestrzeń unitarna


• przestrzeń unormowana

Wielkości geometryczne

• czterowektor


• współrzędne krzywoliniowe


• tensor metryczny

Przypisy |

Bibliografia |

• Klaus Jänich: Topologia. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1991.


• Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, seria: Biblioteka Matematyczna t. 48.


• Andrzej Birkholc: Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 2002.


• John Oprea: Geometria różniczkowa i jej zastosowania. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 2002.