Egftnjytyk

Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, definiujący proces tworzenia z danej funkcji nowej funkcji za pomocą operacji różniczkowania. Np. operatorem różniczkowym jest operator, który tworzy nową funkcję, będącą sumą 1-szej i 2-giej pochodnej danej funkcji (patrz: Przykład poniżej).

Dziedziną operatora nazywa się zbiór wszystkich funkcji, na które można działać danym operatorem. Przy tym mogą to być funkcje jednej lub wielu zmiennych, funkcje skalarne, wektorowe i ogólnie – funkcje tensorowe.

Przykład |

Operator różniczkowy T:C2((0,1),R)→C((0,1),R){displaystyle Tcolon C^{2}((0,1),mathbb {R} )to C((0,1),mathbb {R} )} dany jest wzorem:

Tf=d2fdx2+dfdx.{displaystyle Tf={frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{frac {df}{dx}}.}

Funkcje, na które można działać operatorem T,{displaystyle T,} muszą być klasy C2,{displaystyle C^{2},} tj. muszą to być funkcje różniczkowalne conajmniej dwukrotnie. Dziedziną operatora jest więc zbiór funkcji klasy C2.{displaystyle C^{2}.}

Np. działając operatorem T{displaystyle T} na funkcję

f(x)=e−x(x2+x+1),{displaystyle f(x)=e^{-x}(x^{2}+x+1),}

otrzyma się

Tf(x)=(d2dx2+ddx)(e−x(x2+x+1)),{displaystyle Tf(x)=left({frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{frac {d}{dx}}right)left(e^{-x}(x^{2}+x+1)right),}

czyli

Tf(x)=e−x(1−2x).{displaystyle Tf(x)=e^{-x}(1-2x).}

Własności operatora różniczkowego |

Tw. 1 Operator różniczkowy jest operatorem liniowym, tj.

T(f1+f2)=T(f1)+T(f2),{displaystyle T(f_{1}+f_{2})=T(f_{1})+T(f_{2}),}

T(αf)=αT(f),{displaystyle T(alpha f)=alpha ,T(f),}

gdzie:

f1,f2{displaystyle f_{1},f_{2}} – dane funkcje,

α{displaystyle alpha } – stała liczba.

Tw. 2 Dowolny wielomian utworzony z operatora różniczkowego T{displaystyle T} też jest operatorem różniczkowym.

Operator różniczkowy nabla |

Współrzędne kartezjańskie 3-wymiarowe |

Operator nabla ∇{displaystyle nabla } we współrzędnych kartezjańskich ma postać

∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)=i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z.{displaystyle nabla =left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)=mathbf {i} {frac {partial }{partial x}}+mathbf {j} {frac {partial }{partial y}}+mathbf {k} {frac {partial }{partial z}}.}

Wynik działania operatora nabla zależy od tego, na jaką funkcję działa i w jaki sposób:

• 
  dywergencja – to operacja tworzona przy pomocy operatora ∇{displaystyle nabla } mnożonego skalarnie przez funkcję wektorową F=[f1,f2,f3]{displaystyle mathbf {F} =[f_{1},f_{2},f_{3}]}; w wyniku powstaje funkcja skalarna
  

  divF≡∇⋅F{displaystyle {text{div}},mathbf {F} equiv nabla cdot mathbf {F} }

  
  


• 
  gradient – to operacja tworzona przy pomocy operatora ∇{displaystyle nabla } mnożonego przez funkcję skalarną; w wyniku powstaje funkcja wektorowa
  

  grad⁡(f)≡∇f{displaystyle operatorname {grad} (f)equiv nabla f}

  
  


• 
  rotacja – to operacja tworzona przy pomocy operatora ∇{displaystyle nabla } mnożonego wektorowo przez funkcję wektorową; w wyniku powstaje funkcja wektorowa
  

  rot⁡(F)≡∇×F{displaystyle operatorname {rot} (mathbf {F} )equiv nabla times mathbf {F} }

  
  

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń |

Operator nabla zapisany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma 4 współrzędne - analogicznie jak czterowektory czasoprzestrzeni

∂μ≡∂∂xμ≡(1c∂∂t,∇).{displaystyle partial _{mu }equiv {frac {partial }{partial x^{mu }}}equiv left({frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}},nabla right).}

Operator nabla jest jednym z najpowszechniejszych operatorów różniczkowych fizyki: występuje np. w równaniach Maxwella (fundamentalne równania elektrodynamiki), w równaniu Schrödingera (fundamentalne równanie mechaniki kwantowej), w równaniu dyfuzji (fundamentalne równanie fizyki transportu). W postaci czterowymiarowej występuje w równaniach fizyki relatywistycznej, np. w równaniu Diraca mechaniki kwantowej, w równaniach Einsteina ogólnej teorii względności.

Operatory utworzone z operatora nabla |

• 
  laplasjan - to iloczyn skalarny operatora nabla przez siebie
  

  △≡∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{displaystyle triangle equiv nabla ^{2}={frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}}

  
  

• 
  dalambercjan - to iloczyn skalarny operatora nabla 4-wymiarowego
  

  
  

  ◻=△−1c2∂2∂t2{displaystyle square =triangle -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}}

  
  

  lub

  
  

  ∂μ∂ν=Δ−1c2∂2∂t2{displaystyle partial _{mu }partial ^{nu }=Delta -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}}

  
  

  
  

Zobacz też |

Typy operatorów:

• operator liniowy


• operator rzutowy


• operator samosprzężony (hermitowski)


• operator sprzężony hermitowsko


• operator unitarny