Hipersfera






Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym




Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej


Hipersfera – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.




Spis treści






  • 1 Definicja formalna


    • 1.1 Współrzędne


    • 1.2 Hiperkula




  • 2 Rozmiar


    • 2.1 Objętość wnętrza


    • 2.2 Powierzchnia


    • 2.3 Wymiary ułamkowe




  • 3 Współrzędne hipersferyczne


  • 4 Zobacz też


  • 5 Przypisy


  • 6 Linki zewnętrzne





Definicja formalna |


Dla dowolnej liczby naturalnej n,{displaystyle n,}n, hipersfera o promieniu r{displaystyle r}r jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (n+1){displaystyle (n+1)}(n+1)-wymiarowej, które znajdują się w odległości r{displaystyle r}r od wybranego punktu środkowego c,{displaystyle c,}c, gdzie r{displaystyle r}r jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a c{displaystyle c}c to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni (n+1){displaystyle (n+1)}(n+1)-wymiarowej[1].


Sn={x∈Rn+1:‖x−c‖=r}.{displaystyle S^{n}=left{xin mathbb {R} ^{n+1}:|x-c|=rright}.}S^n = left{ x in mathbb{R}^{n+1} : |x-c| = rright}.

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w (n+1){displaystyle (n+1)}(n+1)-wymiarowej przestrzeni euklidesowej[1]. W szczególności:



  • hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka,

  • hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie,

  • hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej,

  • hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.


Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy hipersferą jednostkową, oznaczaną Sn.{displaystyle S^{n}.}{displaystyle S^{n}.} Często terminem hipersfera określa się właśnie hipersferę jednostkową. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli (n+1){displaystyle (n+1)}(n+1)-wymiarowej. Dla n≥2,{displaystyle ngeq 2,}{displaystyle ngeq 2,} hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.



Współrzędne |


Zbiór punktów w przestrzeni (n+1){displaystyle (n+1)}(n+1)-wymiarowej (x1,x2,…,xn+1),{displaystyle (x_{1},x_{2},dots ,x_{n+1}),}{displaystyle (x_{1},x_{2},dots ,x_{n+1}),} który tworzy hipersferę opisuje równanie


r2=∑i=1n+1(xi−ci)2,{displaystyle r^{2}=sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}{displaystyle r^{2}=sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}

gdzie:




c{displaystyle c}c – punkt środkowy,


r{displaystyle r}r – promień.



Hiperkula |



 Zobacz też: hiperkula.

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy (n+1){displaystyle (n+1)}(n+1)-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta jeśli jej nie zawiera. W szczególności:



  • hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,

  • hiperkula 2-wymiarowa to koło,

  • hiperkula 3-wymiarowa to kula.



Rozmiar |



Objętość wnętrza |


Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę (n−1){displaystyle (n-1)}(n-1)-wymiarową o promieniu R,{displaystyle R,}R, który jest hiperkulą n{displaystyle n}n-wymiarową, ma postać:


Vn(R)=CnRn,{displaystyle V_{n}(R)=C_{n}R^{n},}{displaystyle V_{n}(R)=C_{n}R^{n},}

gdzie Cn{displaystyle C_{n}}C_n jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi


Cn=πn2Γ(n2+1),{displaystyle C_{n}={frac {pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}},}{displaystyle C_{n}={frac {pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}},}

w którym Γ{displaystyle Gamma }Gamma to funkcja Γ.


Wzór na współczynnik Cn{displaystyle C_{n}}C_n upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych



C2k=πkk!{displaystyle C_{2k}={frac {pi ^{k}}{k!}}}{displaystyle C_{2k}={frac {pi ^{k}}{k!}}}[1]

i nieparzystych



C2k+1=2k+1πk1⋅3⋅…⋅(2k+1)=2k+1πk(2k+1)!!.{displaystyle C_{2k+1}={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{1cdot 3cdot ldots cdot (2k+1)}}={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}.}{displaystyle C_{2k+1}={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{1cdot 3cdot ldots cdot (2k+1)}}={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}.}[1]

































































Zestawienie wartości współczynników Cn{displaystyle C_{n}}C_n
Wymiar
n
 Współczynnik
Cn{displaystyle C_{n}}C_n
 Dziesiętne
przybliżenie
 Klasyczna
interpretacja
0
1{displaystyle 1}1
 1,00000
 punkt
1
2{displaystyle 2}2
 2,00000
 długość odcinka
2
π{displaystyle pi }pi
3,14159
 pole koła
3
43π{displaystyle {frac {4}{3}}pi }{displaystyle {frac {4}{3}}pi }
 4,18879
 objętość kuli
4
12π2{displaystyle {frac {1}{2}}pi ^{2}}{displaystyle {frac {1}{2}}pi ^{2}}
 4,93480
  
5
815π2{displaystyle {frac {8}{15}}pi ^{2}}{displaystyle {frac {8}{15}}pi ^{2}}
 5,26379
  
6
16π3{displaystyle {frac {1}{6}}pi ^{3}}{displaystyle {frac {1}{6}}pi ^{3}}
 5,16771
  
7
16105π3{displaystyle {frac {16}{105}}pi ^{3}}{displaystyle {frac {16}{105}}pi ^{3}}
 4,72478
  
8
124π4{displaystyle {frac {1}{24}}pi ^{4}}{displaystyle {frac {1}{24}}pi ^{4}}
 4,05871
  

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów n>5,{displaystyle n>5,}{displaystyle n>5,} rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności


limn→∞Vn=0.{displaystyle lim _{nto infty }V_{n}=0.}{displaystyle lim _{nto infty }V_{n}=0.}


Powierzchnia |


Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery (n−1){displaystyle (n-1)}(n-1)-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli n{displaystyle n}n-wymiarowej względem promienia[1]


Sn−1(R)=ddRVn(R)=ddRCnRn=nCnRn−1=Cn−1∗Rn−1,{displaystyle S_{n-1}(R)={frac {d}{dR}}V_{n}(R)={frac {d}{dR}}C_{n}R^{n}=nC_{n}R^{n-1}=C_{n-1}^{*}R^{n-1},}{displaystyle S_{n-1}(R)={frac {d}{dR}}V_{n}(R)={frac {d}{dR}}C_{n}R^{n}=nC_{n}R^{n-1}=C_{n-1}^{*}R^{n-1},}

gdzie Cn−1∗,{displaystyle C_{n-1}^{*},}{displaystyle C_{n-1}^{*},} podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi


Cn−1∗=nCn=nπn2Γ(n2+1)={0dla n=0,nπn2n2Γ(n2)=2πn2Γ(n2)dla n>0{displaystyle C_{n-1}^{*}=nC_{n}={frac {npi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}={begin{cases}displaystyle 0&{text{dla }}n=0,\[2ex]displaystyle {frac {npi ^{frac {n}{2}}}{{frac {n}{2}}Gamma ({frac {n}{2}})}}={frac {2pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}})}}&{text{dla }}n>0end{cases}}}{displaystyle C_{n-1}^{*}=nC_{n}={frac {npi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}={begin{cases}displaystyle 0&{text{dla }}n=0,\[2ex]displaystyle {frac {npi ^{frac {n}{2}}}{{frac {n}{2}}Gamma ({frac {n}{2}})}}={frac {2pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}})}}&{text{dla }}n>0end{cases}}}

































































Zestawienie wartości współczynników Cn−1∗{displaystyle C_{n-1}^{*}}C^*_{n-1}
Wymiar
n-1
 Współczynnik
Cn−1∗{displaystyle C_{n-1}^{*}}C^*_{n-1}
 Dziesiętne
przybliżenie
 Klasyczna
interpretacja
–1
0{displaystyle 0}{displaystyle 0}
  0,00000
0
2{displaystyle 2}2
  2,00000
 liczba punktów tworzących sferę
1
2π{displaystyle 2pi }2pi
  6,28318
 długość okręgu
2
4π{displaystyle 4pi }{displaystyle 4pi }
 12,56637
 powierzchnia kuli
3
2π2{displaystyle 2pi ^{2}}{displaystyle 2pi ^{2}}
 19,73920
4
83π2{displaystyle {frac {8}{3}}pi ^{2}}{displaystyle {frac {8}{3}}pi ^{2}}
 26,31894
5
π3{displaystyle pi ^{3}}{displaystyle pi ^{3}}
 31,00627
6
1615π3{displaystyle {frac {16}{15}}pi ^{3}}{displaystyle {frac {16}{15}}pi ^{3}}
 33,07336
7
13π4{displaystyle {frac {1}{3}}pi ^{4}}{displaystyle {frac {1}{3}}pi ^{4}}
 32,46969

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach n>6{displaystyle n>6}{displaystyle n>6} ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności


limn→∞Sn=0.{displaystyle lim _{nto infty }S_{n}=0.}{displaystyle lim _{nto infty }S_{n}=0.}


Wymiary ułamkowe |



 Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Wzory na Sn{displaystyle S_{n}}S_{n} i Vn{displaystyle V_{n}}V_{n} można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych n≥0,{displaystyle ngeq 0,}{displaystyle ngeq 0,} w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy n{displaystyle n}n nie jest dodatnią liczbą całkowitą.



Obszar w przestrzeni x{displaystyle x}x-wymiarowej jako funkcja ciągła x{displaystyle x}x




Powierzchnia jednostkowej sfery (x−1){displaystyle (x-1)}{displaystyle (x-1)}-wymiarowej





Objętość jednostkowej kuli x{displaystyle x}x-wymiarowej





Współrzędne hipersferyczne |


Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni n{displaystyle n}n-wymiarowej, w których składowymi są promień r{displaystyle r}r i (n−1){displaystyle (n-1)}(n-1) współrzędnych kątowych ϕ1,ϕ2,…,ϕn−1,{displaystyle phi _{1},phi _{2},dots ,phi _{n-1},}{displaystyle phi _{1},phi _{2},dots ,phi _{n-1},} gdzie ϕn−1{displaystyle phi _{n-1}}{displaystyle phi _{n-1}} zawiera się w przedziale [0,2π),{displaystyle [0,2pi ),}{displaystyle [0,2pi ),} a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale [0,π].{displaystyle [0,pi ].}{displaystyle [0,pi ].}


Jeśli przez xi{displaystyle x_{i}}x_{i} oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:



x1=rcos⁡(ϕ1),{displaystyle x_{1}=rcos(phi _{1}),}{displaystyle x_{1}=rcos(phi _{1}),}

x2=rsin⁡(ϕ1)cos⁡(ϕ2),{displaystyle x_{2}=rsin(phi _{1})cos(phi _{2}),}{displaystyle x_{2}=rsin(phi _{1})cos(phi _{2}),}


x3=rsin⁡(ϕ1)sin⁡(ϕ2)cos⁡(ϕ3),{displaystyle x_{3}=rsin(phi _{1})sin(phi _{2})cos(phi _{3}),}{displaystyle x_{3}=rsin(phi _{1})sin(phi _{2})cos(phi _{3}),}
⋮{displaystyle {},,,vdots }{displaystyle {},,,vdots }


xn−1=rsin⁡(ϕ1)⋯sin⁡(ϕn−2)cos⁡(ϕn−1),{displaystyle x_{n-1}=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{n-2})cos(phi _{n-1}),}{displaystyle x_{n-1}=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{n-2})cos(phi _{n-1}),}

xn=rsin⁡(ϕ1)⋯sin⁡(ϕn−2)sin⁡(ϕn−1).{displaystyle x_{n}=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{n-2})sin(phi _{n-1}).}{displaystyle x_{n}=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{n-2})sin(phi _{n-1}).}



Zobacz też |



  • hipersześcian

  • rozmaitość



Przypisy |




  1. ↑ abcde KarolK. Gryszka KarolK., Anomalie kul i kostek, „Delta”, październik 2018 [dostęp 2018-11-25] .



Linki zewnętrzne |




  • Exploring Hyperspace with the Geometric Product (ang.)

  • Eric W. Weisstein, „Hypersphere” na MathWorld.




-

這個網誌中的熱門文章

12.7 cm/40 Type 89 naval gun

圖片
12.7 cm/40 Type 89 naval gun Type 89 gun mounted on Chitose Type Naval gun anti-aircraft gun Place of origin Japan Service history In service 1932–45 Used by Imperial Japanese Navy Wars World War II Production history Designed 1928–32 Produced 1932–45 No.  built ~1500 Variants Type 88 Specifications Mass 3,100 kilograms (6,834 lb) Barrel length 5,080 millimeters (16 ft 8 in) (bore length) Shell Fixed Shell weight 20.9–23.45 kilograms (46.1–51.7 lb) Caliber 12.7-centimeter (5.0 in) Breech horizontal breech block Elevation -8° to +90° [1] Rate of fire 8-14 rounds per minute Muzzle velocity 720–725 meters per second (2,360–2,380 ft/s) Maximum firing range 9,440 meters (30,970 ft) at 90° (AA ceiling) 14,800 meters (48,600 ft) at 45° The 12.7 cm/40 Type 89 naval gun was a Japanese anti-aircraft (AA) gun introduced before World War II. It was the Imperial Japanese Navy's standard heavy AA
閱讀完整內容

Shark

圖片
For other uses, see Shark (disambiguation). Sharks Temporal range: Ludfordian-Present, 425–0 Ma PreЄ Є O S D C P T J K Pg N [1] Clockwise from top left: spiny dogfish, Japanese sawshark, whale shark, great white shark, horn shark, frilled shark, scalloped hammerhead and Australian angelshark representing the orders Squaliformes, Pristiophoriformes, Orectolobiformes, Lamniformes, Heterodontiformes, Hexanchiformes, Carcharhiniformes and Squatiniformes respectively. Scientific classification Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Chondrichthyes Subclass: Elasmobranchii Infraclass: Euselachii Superorder: Selachimorpha Orders Carcharhiniformes Heterodontiformes Hexanchiformes Lamniformes Orectolobiformes Pristiophoriformes Squaliformes Squatiniformes † Cladoselachiformes † Hybodontiformes † Symmoriida † Xenacanthida (Xenacantiformes) † Elegestolepis † = extinct Synonyms Pleurotremata Sharks
閱讀完整內容

Wiciokrzew

圖片
Wiciokrzew, suchodrzew Morfologia (wiciokrzew pospolity) Systematyka [1] Domena eukarionty Królestwo rośliny Klad rośliny naczyniowe Klad rośliny nasienne Klasa okrytonasienne Klad astrowe Rząd szczeciowce Rodzina przewiertniowate Rodzaj wiciokrzew Nazwa systematyczna Lonicera L. Sp. Pl. 173. 1 Mai 1753 Typ nomenklatoryczny Lonicera caprifolium L. [2] Multimedia w Wikimedia Commons Hasło w Wikisłowniku Kwiaty suchodrzewu pospolitego Owoce suchodrzewu pospolitego Kwiaty wiciokrzewu pomorskiego Kwiaty wiciokrzewu przewiercienia Wiciokrzew , suchodrzew ( Lonicera L.) – rodzaj roślin wieloletnich należący do rodziny przewiertniowatych ( Caprifoliaceae ). Rośliny zielne i pnące nazywane są wiciokrzewami, natomiast krzewy i niewielkie drzewa – suchodrzewami. Rodzaj liczy około 180 gatunków szeroko rozprzestrzenionych na całej półkuli północnej [3] [4]
閱讀完整內容