Egftnjytyk

Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym

Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej

Hipersfera – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.

Definicja formalna |

Dla dowolnej liczby naturalnej n,{displaystyle n,} hipersfera o promieniu r{displaystyle r} jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (n+1){displaystyle (n+1)}-wymiarowej, które znajdują się w odległości r{displaystyle r} od wybranego punktu środkowego c,{displaystyle c,} gdzie r{displaystyle r} jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a c{displaystyle c} to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni (n+1){displaystyle (n+1)}-wymiarowej^[1].

Sn={x∈Rn+1:‖x−c‖=r}.{displaystyle S^{n}=left{xin mathbb {R} ^{n+1}:|x-c|=rright}.}

Jest to n-wymiarowa rozmaitość w (n+1){displaystyle (n+1)}-wymiarowej przestrzeni euklidesowej^[1]. W szczególności:

• hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka,


• hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie,


• hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej,


• hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy hipersferą jednostkową, oznaczaną Sn.{displaystyle S^{n}.} Często terminem hipersfera określa się właśnie hipersferę jednostkową. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg kuli (n+1){displaystyle (n+1)}-wymiarowej. Dla n≥2,{displaystyle ngeq 2,} hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.

Współrzędne |

Zbiór punktów w przestrzeni (n+1){displaystyle (n+1)}-wymiarowej (x1,x2,…,xn+1),{displaystyle (x_{1},x_{2},dots ,x_{n+1}),} który tworzy hipersferę opisuje równanie

r2=∑i=1n+1(xi−ci)2,{displaystyle r^{2}=sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}

gdzie:

c{displaystyle c} – punkt środkowy,

r{displaystyle r} – promień.

Hiperkula |

 Zobacz też: hiperkula.

Przestrzeń ograniczona przez hipersferę nazywamy (n+1){displaystyle (n+1)}-wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta jeśli jej nie zawiera. W szczególności:

• hiperkula 1-wymiarowa to odcinek,


• hiperkula 2-wymiarowa to koło,


• hiperkula 3-wymiarowa to kula.

Rozmiar |

Objętość wnętrza |

Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę (n−1){displaystyle (n-1)}-wymiarową o promieniu R,{displaystyle R,} który jest hiperkulą n{displaystyle n}-wymiarową, ma postać:

Vn(R)=CnRn,{displaystyle V_{n}(R)=C_{n}R^{n},}

gdzie Cn{displaystyle C_{n}} jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

Cn=πn2Γ(n2+1),{displaystyle C_{n}={frac {pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}},}

w którym Γ{displaystyle Gamma } to funkcja Γ.

Wzór na współczynnik Cn{displaystyle C_{n}} upraszcza się gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych

C2k=πkk!{displaystyle C_{2k}={frac {pi ^{k}}{k!}}}^[1]

i nieparzystych

C2k+1=2k+1πk1⋅3⋅…⋅(2k+1)=2k+1πk(2k+1)!!.{displaystyle C_{2k+1}={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{1cdot 3cdot ldots cdot (2k+1)}}={frac {2^{k+1}pi ^{k}}{(2k+1)!!}}.}^[1]

Zestawienie wartości współczynników Cn{displaystyle C_{n}}

Wymiar n	Współczynnik Cn{displaystyle C_{n}}	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
0	1{displaystyle 1}	1,00000	punkt
1	2{displaystyle 2}	2,00000	długość odcinka
2	π{displaystyle pi }	3,14159	pole koła
3	43π{displaystyle {frac {4}{3}}pi }	4,18879	objętość kuli
4	12π2{displaystyle {frac {1}{2}}pi ^{2}}	4,93480
5	815π2{displaystyle {frac {8}{15}}pi ^{2}}	5,26379
6	16π3{displaystyle {frac {1}{6}}pi ^{3}}	5,16771
7	16105π3{displaystyle {frac {16}{105}}pi ^{3}}	4,72478
8	124π4{displaystyle {frac {1}{24}}pi ^{4}}	4,05871

Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów n>5,{displaystyle n>5,} rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera w nieskończoności

limn→∞Vn=0.{displaystyle lim _{nto infty }V_{n}=0.}

Powierzchnia |

Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery (n−1){displaystyle (n-1)}-wymiarowej można uzyskać obliczając pochodną objętości hiperkuli n{displaystyle n}-wymiarowej względem promienia^[1]

Sn−1(R)=ddRVn(R)=ddRCnRn=nCnRn−1=Cn−1∗Rn−1,{displaystyle S_{n-1}(R)={frac {d}{dR}}V_{n}(R)={frac {d}{dR}}C_{n}R^{n}=nC_{n}R^{n-1}=C_{n-1}^{*}R^{n-1},}

gdzie Cn−1∗,{displaystyle C_{n-1}^{*},} podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi

Cn−1∗=nCn=nπn2Γ(n2+1)={0dla n=0,nπn2n2Γ(n2)=2πn2Γ(n2)dla n>0{displaystyle C_{n-1}^{*}=nC_{n}={frac {npi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}}+1)}}={begin{cases}displaystyle 0&{text{dla }}n=0,\[2ex]displaystyle {frac {npi ^{frac {n}{2}}}{{frac {n}{2}}Gamma ({frac {n}{2}})}}={frac {2pi ^{frac {n}{2}}}{Gamma ({frac {n}{2}})}}&{text{dla }}n>0end{cases}}}

Zestawienie wartości współczynników Cn−1∗{displaystyle C_{n-1}^{*}}

Wymiar n-1	Współczynnik Cn−1∗{displaystyle C_{n-1}^{*}}	Dziesiętne przybliżenie	Klasyczna interpretacja
–1	0{displaystyle 0}	0,00000
0	2{displaystyle 2}	2,00000	liczba punktów tworzących sferę
1	2π{displaystyle 2pi }	6,28318	długość okręgu
2	4π{displaystyle 4pi }	12,56637	powierzchnia kuli
3	2π2{displaystyle 2pi ^{2}}	19,73920
4	83π2{displaystyle {frac {8}{3}}pi ^{2}}	26,31894
5	π3{displaystyle pi ^{3}}	31,00627
6	1615π3{displaystyle {frac {16}{15}}pi ^{3}}	33,07336
7	13π4{displaystyle {frac {1}{3}}pi ^{4}}	32,46969

Wśród hipersfer jednostkowych, największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach n>6{displaystyle n>6} ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności

limn→∞Sn=0.{displaystyle lim _{nto infty }S_{n}=0.}

Wymiary ułamkowe |

 Osobny artykuł: miara Hausdorffa.

Wzory na Sn{displaystyle S_{n}} i Vn{displaystyle V_{n}} można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych n≥0,{displaystyle ngeq 0,} w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli gdy n{displaystyle n} nie jest dodatnią liczbą całkowitą.

Obszar w przestrzeni x{displaystyle x}-wymiarowej jako funkcja ciągła x{displaystyle x}

Powierzchnia jednostkowej sfery (x−1){displaystyle (x-1)}-wymiarowej

Objętość jednostkowej kuli x{displaystyle x}-wymiarowej

Współrzędne hipersferyczne |

Analogicznie do współrzędnych sferycznych w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni n{displaystyle n}-wymiarowej, w których składowymi są promień r{displaystyle r} i (n−1){displaystyle (n-1)} współrzędnych kątowych ϕ1,ϕ2,…,ϕn−1,{displaystyle phi _{1},phi _{2},dots ,phi _{n-1},} gdzie ϕn−1{displaystyle phi _{n-1}} zawiera się w przedziale [0,2π),{displaystyle [0,2pi ),} a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale [0,π].{displaystyle [0,pi ].}

Jeśli przez xi{displaystyle x_{i}} oznaczymy współrzędne kartezjańskie to ich wartości można wyznaczyć jako:

x1=rcos⁡(ϕ1),{displaystyle x_{1}=rcos(phi _{1}),}

x2=rsin⁡(ϕ1)cos⁡(ϕ2),{displaystyle x_{2}=rsin(phi _{1})cos(phi _{2}),}

x3=rsin⁡(ϕ1)sin⁡(ϕ2)cos⁡(ϕ3),{displaystyle x_{3}=rsin(phi _{1})sin(phi _{2})cos(phi _{3}),}

⋮{displaystyle {},,,vdots }

xn−1=rsin⁡(ϕ1)⋯sin⁡(ϕn−2)cos⁡(ϕn−1),{displaystyle x_{n-1}=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{n-2})cos(phi _{n-1}),}

xn=rsin⁡(ϕ1)⋯sin⁡(ϕn−2)sin⁡(ϕn−1).{displaystyle x_{n}=rsin(phi _{1})cdots sin(phi _{n-2})sin(phi _{n-1}).}

Zobacz też |

• hipersześcian


• rozmaitość

Przypisy |

Linki zewnętrzne |

• 
  Exploring Hyperspace with the Geometric Product (ang.)
  


• Eric W. Weisstein, „Hypersphere” na MathWorld.