Egftnjytyk

Krzywa motylkowa jako przykład krzywej zdefiniowanej poprzez równanie parametryczne

Równanie parametryczne – pojęcie matematyczne definiujące relację przy użyciu parametrów. Najprostsze zastosowanie widać na przykładzie wziętym z zagadnień kinematyki, kiedy to jednym parametrem czasu można opisać położenie ciała, jego prędkość i inne wielkości fizyczne dotyczące ciała w ruchu. Ogólnie przy pomocy równań parametrycznych definiuje się relację jako zbiór równań.

Przykłady dwuwymiarowe |

Parabola |

Weźmy dla przykładu najprostsze równanie dla paraboli,

y=x2{displaystyle y=x^{2},}

które może zostać sparametryzowane poprzez użycie dowolnego parametru t w następujący sposób:

x=t{displaystyle x=t,}

y=t2.{displaystyle y=t^{2}.,}

Okrąg |

Poprzedni przykład stanowi trywialny szczególny przypadek, dlatego rozważmy teraz okrąg o promieniu a:

x=acos⁡(t){displaystyle x=acos(t),}

y=asin⁡(t),{displaystyle y=asin(t),,}

gdzie t∈[0,2π){displaystyle tin [0,2pi )}

Przykłady trójwymiarowe |

Helisa |

Spirala

Równania parametryczne są wygodne do opisywania krzywych w przestrzeniach o większych wymiarach. Weźmy dla przykładu równania:

x=acos⁡(t){displaystyle x=acos(t),}

y=asin⁡(t){displaystyle y=asin(t),}

z=bt{displaystyle z=bt,}

gdzie a>0{displaystyle a>0;}, t∈[0,2π){displaystyle tin [0,2pi );,}

które opisują trójwymiarową krzywą, mówiąc konkretniej helisę, o promieniu a, która wznosi się o 2πb co okrążenie. Takie wyrażenia jak powyżej są często zapisywane jako

r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(acos⁡(t),asin⁡(t),bt).{displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(acos(t),asin(t),bt).,}

Powierzchnie parametryczne |

Torus dla R=2 i promienia r=1/2

Torus, którego odległość od środka torusa oznaczona jest jako R i którego promień wynosi r, może być sparametryzowany jako

x=cos⁡(t)(R+rcos⁡(u)){displaystyle x=cos(t)(R+rcos(u));}

y=sin⁡(t)(R+rcos⁡(u)){displaystyle y=sin(t)(R+rcos(u));}

z=rsin⁡(u),{displaystyle z=rsin(u);,}

gdzie t∈[0,2π),{displaystyle tin [0,2pi ),}
u∈[0,2π).{displaystyle uin [0,2pi ).}

Zastosowanie |

Opisany wyżej sposób wyrażania krzywych jest praktyczny, dlatego iż jedno z równań można różniczkować a inne całkować. Przykładem zastosowania może być wyrażenie prędkości jako sparametryzowanej drogi przebytej przez ciało (w każdym wymiarze odpowiednio) jako:

v(t)=r′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t))=(−asin⁡(t),acos⁡(t),b){displaystyle v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-asin(t),acos(t),b),}

natomiast przyspieszenie jako:

a(t)=r″(t)=(x″(t),y″(t),z″(t))=(−acos⁡(t),−asin⁡(t),0){displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-acos(t),-asin(t),0),}

Ogólnie krzywa parametryczna jest funkcją jednego niezależnego parametru (zazwyczaj oznaczanego jako t). W sytuacji, gdy są dwa lub więcej parametrów, mamy do czynienia z powierzchnią parametryczną.

Konwersja równań parametrycznych do pojedynczego równania |

Konwersja zbioru równań parametrycznych do pojedynczego równania polega na wyeliminowaniu zmiennej t{displaystyle t} z równań x=x(t), y=y(t){displaystyle x=x(t), y=y(t)}. Jeśli jedno z tych równań może być rozwiązane dla t, wtedy wyrażenie otrzymane może zostać podstawione do innego równania po to, aby otrzymać równanie, w którym występować będą tylko zmienne x oraz y. Jeśli x(t){displaystyle x(t)} i y(t){displaystyle y(t)} są funkcjami wymiernymi, wtedy techniki teorii równań, takie jak rugownik, mogą zostać zastosowane do wyeliminowania zmiennej t. Istnieją również szczególne przypadki, w których nie istnieje pojedyncze równanie, które by występowało w zamkniętej formie.^[1]

Dla przykładu weźmy okrąg o promieniu a

x=acos⁡(t){displaystyle x=acos(t),}

y=asin⁡(t){displaystyle y=asin(t),}

a>0{displaystyle a>0;}, t∈[0,2π){displaystyle tin [0,2pi );}

Może on być łatwo wyrażony za pomocą zmiennych x oraz y korzystając z jedynki trygonometrycznej:

x/a=cos⁡(t){displaystyle x/a=cos(t),}

y/a=sin⁡(t){displaystyle y/a=sin(t),}

cos⁡(t)2+sin⁡(t)2=1{displaystyle cos(t)^{2}+sin(t)^{2}=1,!}

∴(x/a)2+(y/a)2=1,{displaystyle therefore (x/a)^{2}+(y/a)^{2}=1,}

co ostatecznie jest łatwo identyfikowane z typem krzywej stożkowej, czyli w tym przypadku z okręgiem.

Przypisy |